Τα μαθηματικά φίλε μου βρίσκονται παντού στη φύση, από το φτερούγισμα μιας πεταλούδας έως τις κινήσεις των πλανητών. Όπως είχε πει και ο Κέπλερ, με τα μαθηματικά ο Θεός σχεδίασε τον κόσμο. Κάποια μέρα θα βρούμε μια εξίσωση που να περιγράφει τα πάντα.
Σοβαρέψου, αυτά είναι ανοησίες. Τα μαθηματικά είναι ένα εργαλείο με το οποίο μπορούμε να πλησιάζουμε στην αλήθεια του κόσμου. Ο κόσμος είναι πολύπλοκος, τα μαθηματικά είναι απλώς εξιδανικεύσεις του και μας βοηθούν να τον περιγράψουμε.
Οι δύο φίλοι εκφράζουν τις πιο συνηθισμένες απόψεις για το τι είναι τα μαθηματικά. Η πραγματικότητα, όμως, είναι πιο σύνθετη. Η πρώτη θέση εκφράζει περισσότερο μια θρησκευτική πεποίθηση, παρά το περιεχόμενο των μαθηματικών. Διατηρεί μια αίσθηση νομοτέλειας και μια ελπίδα ότι υπάρχουν κάπου στη φύση όσα υπολογίζουμε. Η δεύτερη θέση είναι περισσότερο πραγματιστική, τεχνοκρατική και λαμβάνει υπόψη τα όρια των ανθρωπίνων δυνατοτήτων, αν και έχει το «μειονέκτημα» του σχετικισμού. Όπως και αν έχει, από τη σκοπιά της ιστορίας και φιλοσοφίας των επιστημών, οι δύο αυτές θέσεις, αν και δημοφιλείς, δεν αποτελούν συνεπείς τρόπους προσέγγισης του περιεχομένου και των μεθόδων των μαθηματικών. Στο παρόν αφιέρωμα, που αποτελείται από τρία άρθρα, ο βασικός ισχυρισμός είναι ότι τα μαθηματικά είναι ανθρώπινες επινοήσεις και με αυτά κατασκευάζουμε ερμηνείες για τον κόσμο και τον αλλάζουμε.
Το 2009, το ΔΝΤ εκτιμούσε ότι το 2012 η ύφεση θα έφτανε το 5,5%. Η ύφεση έφτασε στο 17%. Αντίστοιχα, το ποσοστό ανεργίας το 2012 ήταν 25% έναντι πρόβλεψης για 15%. Πρόσφατα, το ΔΝΤ ομολόγησε τις λανθασμένες προβλέψεις του για την ελληνική οικονομία. Για παράδειγμα, το 2012 η εκτίμηση ήταν 1,1% ανάπτυξη και υπήρξε ύφεση 7,7%, ενώ το 2015 οι εκτιμήσεις ήταν 2,7% ανάπτυξη και υπήρξε ύφεση 0,2%. Οι αξιολογητές του ΔΝΤ είχαν σημειώσει ότι τα αίτια για τις «λανθασμένες» προβλέψεις είναι η αδυναμία των οικονομολόγων να κάνουν ακριβείς προβλέψεις σε περιόδους ύφεσης. Παράλληλα, σημείωσαν ότι μέρος των «λανθασμένων» προβλέψεων είναι και η πρόθεση των οικονομολόγων να «βοηθήσουν» τις χώρες που βρίσκονται σε καθεστώς μνημονίου. Στον πυρήνα των προβλέψεων, επομένως, δεν ήταν τα μαθηματικά μοντέλα αλλά ξεκάθαρες πολιτικές μεθοδεύσεις και σχέσεις εξουσίας.
Επιφανείς οικονομολόγοι, όπως ο Πολ Κρούγκμαν, ο Βίλεμ Μπούιτερ και ο Νουριέλ Ρουμπινί, υποστήριζαν ότι η Ελλάδα θα βρεθεί εκτός Ευρωζώνης και ότι το ευρώ θα παύσει να υπάρχει εντός του 2012. Ο Μπούιτερ, συγκεκριμένα, πρώην στέλεχος της Τράπεζας της Αγγλίας, έδινε 90% πιθανότητες να εγκαταλείψει η Ελλάδα την Ευρωζώνη. Έδινε ακόμη και ημερομηνία, την 1η Ιανουαρίου 2013. Τίποτα από τα παραπάνω δεν συνέβη. Η «φύση» συμπεριφέρθηκε με διαφορετικό τρόπο από αυτόν που όριζαν τα μαθηματικά μοντέλα. Ωστόσο, οι αυθεντίες και οι μαθηματικές τους προβλέψεις συνεχίζουν να παρουσιάζονται ως αναντίρρητες αλήθειες.
Προφανώς, τα οικονομικά είναι μια επιστήμη εξαιρετικά πολυπαραγοντική και οι προβλέψεις δεν μπορούν να είναι ακριβείς λόγω των πολλών και διαφορετικών αιτίων που καθοδηγούν μια οικονομία. Ας αφήσουμε τα οικονομικά και ας δούμε τη φυσική. Ας αναφερθούμε σε κάτι που περιγράφηκε από τα μαθηματικά με μεγάλη ακρίβεια. Στην αρχαιότητα, στο κέντρο του κόσμου βρισκόταν η ακίνητη Γη, κάτι που επιβεβαιωνόταν από την καθημερινή εμπειρία. Ο Αριστοτέλης θεωρούσε ότι τα ουράνια σώματα ήταν προσκολλημένα σε τέλειες, κρυστάλλινες και αιώνιες σφαίρες που κινούνταν γύρω από τη Γη. Η θεωρία του Αριστοτέλη βελτιώθηκε μέσω παρατηρήσεων και γεωμετρικών υπολογισμών από μαθηματικούς και αστρονόμους. Ο σημαντικότερος από αυτούς ήταν ο Κλαύδιος Πτολεμαίος, ο οποίος έζησε τον δεύτερο αιώνα μ.Χ. Ο Πτολεμαίος μπορούσε να κάνει ακριβείς προβλέψεις για κάθε ουράνιο φαινόμενο και κάθε ουράνια κίνηση. Γνώριζε με μεγάλη ακρίβεια πότε θα γίνονταν οι εκλείψεις Ηλίου και Σελήνης, καθώς και την ακριβή θέση κάθε πλανήτη ανά πάσα στιγμή. Χρησιμοποιούσε διάφορες μαθηματικές μεθόδους, για να περιγράψει τις κινήσεις των ουρανίων σωμάτων, βασιζόμενος στο γεωκεντρικό μοντέλο. Μία από αυτές τις μεθόδους ήταν ο περίφημος εξισωτής. Ο εξισωτής ήταν ένα σημείο στον χώρο γύρω από το οποίο ένα ουράνιο σώμα (πχ ο πλανήτης Άρης) διένυε σε ίσους χρόνους ίσες γωνίες. Με αυτόν τον τρόπο, ο Πτολεμαίος απέδιδε στη φύση μια τάξη που δεν προϋπήρχε. Γιατί το έκανε; Αυτή η εύτακτη κατασκευασμένη «πραγματικότητα» επέτρεπε στον Πτολεμαίο να κάνει ακριβέστερους υπολογισμούς. Ο εξισωτής δούλευε, παρόλο που δεν ήταν ένα φυσικό αντικείμενο. Ήταν, δηλαδή, μια μαθηματική επινόηση που διευκόλυνε τους αστρονόμους, επειδή μπορούσε να περιγράφει τα φαινόμενα. Επομένως, ακόμη και σε περιπτώσεις όπως η μαθηματική αστρονομία, τα μαθηματικά μπορούν να περιγράφουν μια πραγματικότητα με μηχανισμούς που δεν είναι καθόλου φυσικοί. Και αυτό θέτει ένα ερώτημα: Ποια είναι η σχέση μαθηματικών και φύσης; Στην περίπτωση του εξισωτή δεν έχουμε ούτε την αποκάλυψη κάποιας κρυφής γεωμετρίας ούτε ένα μαθηματικό εργαλείο που μας οδήγησε πιο κοντά στην αλήθεια. Στον 16ο και 17ο αιώνα ο Κοπέρνικος και ο Γαλιλαίος θα διέλυαν οριστικά τον γεωκεντρικό κόσμο του Αριστοτέλη και του Πτολεμαίου και μαζί του και τον «φαντασιακό» εξισωτή. Τα μαθηματικά σε αυτή την περίπτωση, όπως και στις προβλέψεις των οικονομολόγων, επινοήθηκαν για να νομιμοποιήσουν την κατασκευή μιας συγκεκριμένης πραγματικότητας.
Ας αναφέρουμε και ένα τελευταίο παράδειγμα, το θεώρημα της μέσης ταχύτητας, την πιο σημαντική μεσαιωνική συμβολή στην ιστορία των φυσικών επιστημών. Τι ορίζει το συγκεκριμένο θεώρημα; Ας υποθέσουμε ότι ένα σώμα κινείται με ομοιόμορφη επιτάχυνση. Σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα θα έχει κάνει μια συγκεκριμένη απόσταση. Αν υποθέσουμε ότι αυτό το σώμα είχε κινηθεί με ομοιόμορφη και σταθερή ταχύτητα ίση με τη στιγμιαία ταχύτητα που είχε αποκτήσει κατά τη μεσαία στιγμή της επιτάχυνσης, τότε θα χρειαζόταν το ίδιο χρονικό διάστημα για να διανύσει την ίδια απόσταση. Το ερώτημα είναι το εξής: Ποια είναι η σχέση αυτού του μαθηματικού θεωρήματος με τη φύση; Ποιο φυσικό φαινόμενο ήθελαν να περιγράψουν οι μαθηματικοί του Μεσαίωνα; Η εύλογη απάντηση είναι ότι ήθελαν να περιγράψουν και να υπολογίσουν την κίνηση ενός οποιουδήποτε σώματος. Το πρόβλημα είναι ότι εκείνη την περίοδο η ποσοτική εξήγηση των φυσικών φαινομένων ήταν εκτός της κουλτούρας των φιλοσόφων. Οι εξηγήσεις που έδιναν ήταν ποιοτικές. Με απλά λόγια, δεν μετρούσαν χρόνο και ταχύτητα.
Οι μαθηματικοί που επινόησαν το θεώρημα της μέσης ταχύτητας στο Κολέγιο του Μέρτον είχαν την τάση να ασχολούνται με υποθετικά ερωτήματα και γρίφους κυρίως θεολογικής φύσης. Ένας από αυτούς τους γρίφους ήταν περίπου ο εξής: Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο ανθρώπους. Ο πρώτος άνθρωπος δεν κάνει καμία καλή πράξη έως κάποια ηλικία. Συνειδητοποιεί, επομένως, ότι δεν θα πάει στον Παράδεισο. Αποφασίζει τότε να επιταχύνει, έτσι ώστε να κάνει έναν ικανοποιητικό αριθμό καλών πράξεων και να πάει στον Παράδεισο. Ο δεύτερος άνθρωπος είναι πιο προνοητικός και υποθέτει το εξής: Αν κάνω από την αρχή της ζωής μου κάθε χρόνο τον ίδιο αριθμό καλών πράξεων χωρίς αυξομειώσεις, τότε θα πάω στον Παράδεισο. Πόσες, όμως, πρέπει να κάνω; Η απάντηση είναι ότι πρέπει να κάνει σταθερά, από την αρχή έως το τέλος, τόσες καλές πράξεις όσες έκανε ο πρώτος άνθρωπος στο μέσο της δικής του διαδρομής. Βλέπουμε, επομένως, ότι μια μαθηματική περιγραφή μπορεί να αντιστοιχεί και σε κάτι που δεν είναι φυσικό, όπως η αμαρτία ή η μεταθανάτια ζωή, ή να προκύπτει από ερωτήματα που βρίσκονται εκτός της σημερινής εικόνας που έχουμε για τις επιστήμες. Με άλλα λόγια, ένα μαθηματικό θεώρημα γεννήθηκε λόγω της αγωνίας για τη μεταθανάτια ζωή.
Στο επόμενο άρθρο θα ασχοληθούμε με τη σχέση μαθηματικών και αλήθειας. Αν ο τρόπος με τον οποίο αντιλαμβανόμαστε τη φύση είναι αποτέλεσμα ανθρώπινων επινοήσεων, τότε γιατί να μην συμβαίνει και το ίδιο με την αλήθεια;
